• 周向宇院士:中國古代數學(xué)的成就

    發(fā)布時(shí)間:2024-01-25

    「編者按」“中國古代數學(xué)的貢獻”一文,作者系周向宇院士。在研究專(zhuān)業(yè)數學(xué)之余,作者將學(xué)習和研究中國古代數學(xué)的心得體會(huì )與研究成果整理成文,刊發(fā)于《數學(xué)學(xué)報,中文版》2022年第4期。該文闡釋與揭示了中國古代數學(xué)對華夏文明的貢獻,對國學(xué)、語(yǔ)言、文化的影響,以及對現代數學(xué)的影響與貢獻?!皵祵W(xué)大院”公眾號將陸續以推文呈現,讓讀者從多方面領(lǐng)略中國古代數學(xué)的成就與貢獻。

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    圖片來(lái)源:永樂(lè )大典.卷16343-16344.算字.明嘉靖隆慶間內府重寫(xiě)本.劍橋大學(xué)圖書(shū)館藏

    以下內容節選自“中國古代數學(xué)的貢獻”一文第三章“中國古代數學(xué)的成就”,作者系周向宇院士。

    3.1 代數思想

    中國古代很早就有了零的思想,比如在籌算中用空位表示零。零不僅指各個(gè)數位上的零(用空位表示,后用圓圈O),也包括運算結果中的零。中國古代很早就引進(jìn)了負數,在《九章算術(shù)》里就很明確地引進(jìn)了負數、加法的逆運算減法及其運算規則(交換律、結合律),乘法的分配律,乘法的逆運算及分數及其運算律,這是數學(xué)發(fā)展中的一個(gè)里程碑。所以說(shuō),中國古代數學(xué)最早認識、發(fā)現、引進(jìn)了第一個(gè)無(wú)限群、環(huán)、域(整數群、整數環(huán)、有理數域);另外還引進(jìn)了矩陣(matrix),發(fā)現了消元法(Gaussian elimination),解決了線(xiàn)性方程組求解問(wèn)題(Cramer's Rule for system of linearequations)。

    《九章算術(shù)》是一部十分重要的數學(xué)著(zhù)作,總結了戰國、秦、漢時(shí)期的數學(xué)成就,西漢的張蒼、耿壽昌等曾經(jīng)做過(guò)增補和整理,后來(lái)劉徽給它作了注解。雖然最后成書(shū)于東漢前期(公元一世紀左右),但許多內容顯然早已存在于先秦。這從劉徽為《九章算術(shù)》作的注就可看出。負元(逆元)、逆運算及其運算規律的引進(jìn)使得運算變得方便靈活,完滿(mǎn)解決了運算問(wèn)題,為抽象代數的產(chǎn)生奠定了基礎。對其意義與價(jià)值,套用拉普拉斯關(guān)于十進(jìn)位值制的話(huà)來(lái)評價(jià)是不過(guò)分的。

    3.2 天元術(shù)

    中國古代數學(xué)用算籌計算圓周率,開(kāi)平方根、立方根和更高次的根,對多項式方程進(jìn)行數值求解。此外,中國古代數學(xué)還引進(jìn)了未知量“天元”,國家自然科學(xué)基金有一個(gè)“數學(xué)天元基金”,就是為了紀念中國古代引進(jìn)了變量、未知量、待定量?!八卧慕堋崩钜?、秦九韶、楊輝、朱世杰建立、整理和發(fā)展了天元術(shù),而到了朱世杰時(shí)期已經(jīng)發(fā)展成為了天、地、人、物四個(gè)變元。

    在宋元四杰時(shí)期(大約為十三、十四世紀),中國數學(xué)的發(fā)展達到了一個(gè)高峰,比如十進(jìn)分數。比如秦九韶的大衍求一術(shù)(1247年),這個(gè)結果被稱(chēng)為中國剩余定理(高斯后來(lái)重新發(fā)現)。又比如高次方程的數值解法,也是秦九韶基于很多古代數學(xué)家的貢獻發(fā)展總結而來(lái)的。西方在19世紀重新發(fā)現這個(gè)方法,并稱(chēng)為霍納方法(Horner's scheme),在前蘇聯(lián)編撰的《數學(xué)百科全書(shū)》的相應條目“Horner's scheme”里、

    3.3 極限思想

    再來(lái)談?wù)勚袊糯臉O限思想?!肚f子·天下》有句惠子名言: “一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭?!钡谝惶烊∧鹃㈤L(cháng)度的,第二天取,了第天取,萬(wàn)世都不會(huì )窮盡。寫(xiě)成式子,即

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    后面必然需要省略號“......”。

    另外,《墨子·經(jīng)下》有句話(huà)的意思是說(shuō), 一條線(xiàn)段從中點(diǎn)分為兩半,取其一半再破成兩半, 仍取一半繼續分割, 直到不可分割時(shí)就只剩一個(gè)點(diǎn)?!赌印そ?jīng)下》:“非半弗[著(zhù)斤] (編者注:該字左著(zhù)右斤,讀作zhuó,因GBK編碼無(wú)法顯示該生僻字,故本文以[著(zhù)斤]代替),則不動(dòng), 說(shuō)在端?!边@里,[著(zhù)斤](zhuó) (注:有的書(shū)也用斫)意指:用刀斧砍?!督?jīng)說(shuō)下》曰:“非[著(zhù)斤]半,進(jìn)前取也。前則中無(wú)為半, 猶端也。前后取,則端中也。[著(zhù)斤]必半,毋與非半,不可[著(zhù)斤]也”。墨子的半分法體現了(事實(shí)上等價(jià)于)區間套原理。半分法可以用來(lái)證明數學(xué)分析里的幾個(gè)重要、被認為有難度的定理。比如證明致密性定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理,還有連續函數的零點(diǎn)存在定理、Henstock--Kurzweil積分中的基礎---Cousin引理(對閉區間上的任一正函數,總存在閉區間的-細度分劃(-fine Perron partition)) (HK積分僅對黎曼積分做些許改動(dòng),就蘊含了勒貝格積分),其實(shí)用的都是墨子的半分法。

    另外,惠子的取半、墨子的半分及王爾的半中說(shuō)明古人應該很早就會(huì )用尺規平分線(xiàn)段。

    劉徽和祖沖之的“割圓術(shù)”也蘊含了極限的思想。祖率(密率)


    是非常巧妙的。祖沖之和他的兒子祖暅編寫(xiě)了《綴術(shù)》,這本書(shū)是唐朝算學(xué)科最難的課本。祖暅原理“冪勢既同,則積不容異”, 就是說(shuō):如果兩個(gè)立方體的所有等高的橫截面積全都相等,則它們的體積必相同(這里“既”是“全、都”之意)。這在微積分里被西方稱(chēng)為卡瓦列里(Cavalieri)原理。祖暅用其原理求出“牟合方蓋”的體積,進(jìn)而得出球體積, 解決了劉徽遺留問(wèn)題。

    《綴術(shù)》代表了當時(shí)數學(xué)的最高水平, 但“學(xué)官莫能究其深奧,是故廢而不理”, 這本書(shū)最終失傳了, 這是十分遺憾的事情。在我看來(lái),《綴術(shù)》蘊含極限思想, 光從書(shū)名來(lái)看, “綴”就有連續的含義。

    明朝數學(xué)家王文素及其《算學(xué)寶鑒》對數學(xué)有重要貢獻, 比如對于17世紀微積分創(chuàng )立時(shí)期出現的導數, 王文素在16 世紀已發(fā)現并使用。

    上述成就當然是基礎數學(xué)的成就, 只是中國古代數學(xué)的一小部分。

    參考文獻

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    [6] 卡爾·博耶(Carl B. Boyer)著(zhù), 尤塔·梅茲巴赫(Uta C. Merzbach)修訂, 數學(xué)史(修訂版), 中央編譯出版社, 2012.

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    [10] 周易、老子、墨子、列子、莊子、孟子、荀子、管子、韓非子、左傳、淮南子、貞觀(guān)政要, 中華經(jīng)典名著(zhù)全本全注全譯叢書(shū), 北京: 中華書(shū)局, 2010--2019.


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    本文原載于《數學(xué)學(xué)報,中文版》2022年第四期,由編輯部授權轉載。


    文章來(lái)源:數學(xué)大院


    數學(xué)會(huì )獎項

    華羅庚獎

    華羅庚先生是我國著(zhù)名數學(xué)家

    華羅庚先生是我國著(zhù)名數學(xué)家,他熱愛(ài)祖國,獻身科學(xué)事業(yè),一生為發(fā)展我國的數學(xué)事業(yè)和培養人才做出了卓越貢獻。

    陳省身獎

    陳省身教授是一位國際數學(xué)大師

    國際數學(xué)大師陳省身教授是美籍華裔數學(xué)家、中國科學(xué)院外籍院士。他非常關(guān)心祖國數學(xué)事業(yè)的發(fā)展,幾十年來(lái)在發(fā)展我國數學(xué)事業(yè)、培養數學(xué)人才等方面做了大量工作。

    鐘家慶獎

    鐘家慶教授生前對祖國數學(xué)事業(yè)的發(fā)展極其關(guān)切

    鐘家慶教授生前對祖國數學(xué)事業(yè)的發(fā)展極其關(guān)注,并為之拚搏一生。為了紀念并實(shí)現他發(fā)展祖國數學(xué)事業(yè)的遺愿,數學(xué)界有關(guān)人士于1987年共同籌辦了鐘家慶基金,并設立了鐘家慶數學(xué)獎,委托中國數學(xué)會(huì )承辦。

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