【編者按】“中國古代數學(xué)的貢獻”一文，作者系周向宇院士。在研究專(zhuān)業(yè)數學(xué)之余，作者將學(xué)習和研究中國古代數學(xué)的心得體會(huì )與研究成果整理成文，刊發(fā)于《數學(xué)學(xué)報，中文版》2022年第4期。該文闡釋與揭示了中國古代數學(xué)對華夏文明的貢獻，對國學(xué)、語(yǔ)言、文化的影響，以及對現代數學(xué)的影響與貢獻?！皵祵W(xué)大院”公眾號將陸續以推文呈現，讓讀者從多方面領(lǐng)略中國古代數學(xué)的成就與貢獻。

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以下內容節選自“中國古代數學(xué)的貢獻”一文第二章，作者系周向宇院士。

所謂國學(xué)，應該是以先秦諸子百家學(xué)說(shuō)為根基的中國傳統思想、文化、學(xué)術(shù)體系。國學(xué)涉及范圍廣泛，包括哲學(xué)、文學(xué)、政治、經(jīng)濟、軍事、歷史、地理、醫學(xué)、建筑、書(shū)畫(huà)、音樂(lè )等等，且涉及各個(gè)時(shí)代。

事實(shí)上，中國文化對數學(xué)的嚴謹、嚴格、嚴密，準確、精確、客觀(guān)，非常地推崇?！痘茨献印ぶ餍g(shù)訓》說(shuō)：孔丘、墨翟修先圣之術(shù)，通六藝之論。國學(xué)的奠基者們都精通六藝、通曉籌算，他們將各自的人文思想用數學(xué)命題來(lái)進(jìn)行闡釋?zhuān)从沉巳宋木衽c數學(xué)精神的交融， 體現了中國文化從根基上對數學(xué)的尊崇。

2.1 古代數學(xué)之用

史書(shū)記載：伏羲女?huà)z持規矩；大禹：左準繩，右規矩，載四時(shí)；奚仲：造車(chē)之父，利用規矩、準繩造馬車(chē)。

“勾三股四弦五”在大禹時(shí)期就已經(jīng)知道了?！妒酚洝は谋炯o》記載大禹治水的情形：“左準繩， 右規矩，載四時(shí)，以開(kāi)九州，通九道，陂九澤，度九山?！薄痘茨献印ば迍?wù)訓》也說(shuō)：“無(wú)規矩，雖奚仲不能以定方圓；無(wú)準繩，雖魯班不能以定曲直?！鞭芍侔l(fā)明了輪子，是中國的造車(chē)之父。如果沒(méi)有了規矩，即便是奚仲也確定不了方圓；如果沒(méi)有了準繩，哪怕是魯班也確定不了直線(xiàn)。這說(shuō)明，我國古代很早就使用準繩和規矩這些基本的數學(xué)工具，并做出重大應用。

2.2 古代數學(xué)源遠流長(cháng)

周文王演周易；周武王建周朝，周公(儒學(xué)奠基人)制禮樂(lè )。數學(xué)教育屬六藝(禮、樂(lè )、射、御、書(shū)、數)之一，據史料記載，至晚始于西周。西周造車(chē)技術(shù)高超，車(chē)輛制造業(yè)發(fā)達，而造車(chē)相當依賴(lài)數學(xué)。劉徽在為《九章算術(shù)》作注時(shí)說(shuō)：“按周公制禮而有九數，九數之流，則《九章》是矣”。甲骨文中，已有規、矩等字。這些都說(shuō)明，我國古代數學(xué)源遠流長(cháng)。

2.3 周公與商高

《周髀算經(jīng)》記載周公向商高請教天文測量的有關(guān)知識：“夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問(wèn)數安從出？”商高告訴他，關(guān)鍵在于用“矩”。周公感嘆：“大哉言數！請問(wèn)用矩之道?！鄙谈邉t進(jìn)一步解釋?zhuān)ㄟ^(guò)不同的擺放方式，矩可以實(shí)現多種不同的用途：“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方?！敝芄Q(chēng)贊說(shuō)：“善哉！”

《管子·七法》里記載了很多管子與數學(xué)相關(guān)的內容。管仲所說(shuō)的七法是指：“則、象、法、化、決塞、心術(shù)、計數”。其中，“計數”包括剛柔、輕重、大小、實(shí)虛、遠近、多少，這些問(wèn)題都與數學(xué)相關(guān)。管仲認為，想要辦成大事，不可不通曉數學(xué)：“不明于計數，而欲舉大事，猶無(wú)舟楫而欲經(jīng)于水險也。舉事必成，不知計數不可?！贝送?，管仲把尺寸、繩墨、規矩、衡石、斗斛、角量稱(chēng)為“法”，這些也是數學(xué)。管仲說(shuō)：“不明于法，而欲治民一眾，猶左書(shū)而右息之?！痹诠苤僦卫韲視r(shí)，數學(xué)起了重要作用。

由上述可見(jiàn)，從伏羲女?huà)z到大禹，從文、武王到周公、管子，從中國文化的根基上看，中國的統治者對數學(xué)是十分欣賞、重視的。

2.4 孟子的人文思想與數學(xué)

《孟子·離婁上》說(shuō)：“離婁之明，公輸子之巧，不以規矩，不能成方圓；……堯舜之道，不以仁政，不能平治天下”。事實(shí)上，“不以規矩不能成方圓”是一個(gè)數學(xué)命題(現在已成為人們常用的格言警句)，孟子以此闡述它的核心人文思想“仁”。目前人們常說(shuō)“規規矩矩做人做事”，反映了數學(xué)的影響。

中國文化看重“圓方”，向有“天圓地方”之說(shuō)。方圓都是軸對稱(chēng)圖形，又是中心對稱(chēng)圖形。中國古代發(fā)明了畫(huà)圓與方的規與矩。

《孟子·離婁上》還說(shuō)：“規矩，方圓之至也；圣人，人倫之至也?！边@里，孟子把數學(xué)命題和他的人文思想交融為一體，在他的著(zhù)作中還能找到許多其他類(lèi)似的比較、闡述。以下僅舉幾例：

《孟子·離婁上》：圣人既竭目力焉，繼之以規矩準繩，以為方圓平直，不可勝用也；……既竭心思焉，繼之以不忍人之政，而仁覆天下矣。

《孟子·梁惠王上》：權，然后知輕重；度，然后知長(cháng)短。物皆然，心為甚。

《孟子·告子上》：“羿之教之射，必志于彀，學(xué)者亦必志于彀；大匠誨人，必以規矩，學(xué)者亦必以規矩?！?/span>

《孟子·盡心上》：公孫丑曰：“道則高矣美矣，宜若登天然，似不可及也。何不使彼為可幾及，而日孳孳也?！泵献釉唬骸按蠼巢粸樽竟じ膹U繩墨，羿不為拙射變其彀率，君子引而不發(fā)， 躍如也，中道而立，能者從之?！?/span>

《孟子·盡心下》：“梓匠輪輿，能與人規矩，不能使人巧?！?/span>

這些，都需要對數學(xué)有準確的認識，才能更好地理解其意。

2.5 墨子的人文思想與數學(xué)

墨子是一位百科式科學(xué)家?！赌印そ?jīng)上》說(shuō)：“圜，一中同長(cháng)也?！眻A就是有一個(gè)中心到具距離等長(cháng)的圖形。圓可以用規來(lái)實(shí)現，所謂“圜，規寫(xiě)交也”(用規寫(xiě)畫(huà)的終點(diǎn)與始點(diǎn)相交合的封閉軌跡)?！胺?，柱隅四權(讙)也”(方形即四邊四角相等的平面四邊形。柱：邊。隅：角。權：均衡、平衡、平均，這里意味著(zhù)相等。另外《考工記》中：“九和之弓，角與干權”的“權”也是此意)，“方，矩見(jiàn)交也”(用矩尺畫(huà)出相交的封閉圖形)，方可以用矩來(lái)實(shí)現，這是墨子的公理化定義?！坝懈F”、“無(wú)窮”是墨家的常用術(shù)語(yǔ)。他給出了力的定義，認為力是使物體運動(dòng)變化的原因；認識到了重力、杠桿原理；還做了世界上第一個(gè)小孔成像的實(shí)驗，證明光沿直線(xiàn)傳播。

《墨子·法儀》還說(shuō)：“百工為方以矩，為圓以規，直以繩，衡以水，正以縣。無(wú)巧工不巧工，皆以此五者為法?！睙o(wú)論是巧匠還是一般工匠，都要遵從相同的客觀(guān)準則，說(shuō)明墨子已經(jīng)認識到了數學(xué)的客觀(guān)性，以此強調法度的重要性。

墨子的核心人文思想是“天志”(天的意志)?！赌印ぬ熘旧稀氛f(shuō)：“我有天志，譬若輪人之有規， 匠人之有矩，輪匠執其規矩，以度天下之方圓。曰：中者是也，不中者非也?！蹦影岩砸幘囟ǚ綀A，比喻為判斷是非，顯然他對數學(xué)的精確和嚴謹是十分推崇的。后文《墨子·天志中》還說(shuō)：“是故子墨子之有天之，辟人無(wú)以異乎輪人之有規、匠人之有矩也?！蹦影烟熘舅枷牒蛿祵W(xué)命題聯(lián)系對應起來(lái)?！爸形嵋幷咧^之圓，不中吾規者謂之不圓，……中吾矩者謂之方，不中吾矩者謂之不方?！迸袆e圓和方的規則都很明確，這些思想方法都來(lái)自數學(xué)。

2.6 荀子的人文思想與數學(xué)

荀子的一個(gè)核心人文思想就是“禮”?！盾髯印ね醢浴氛f(shuō)：“禮之所以正國也，譬之，猶衡之于輕重也，猶繩墨之于曲直也，猶規矩之于方圓也，既錯之而人莫之能誣也?！边@充分反映了荀子對數學(xué)的推崇。

《荀子·禮論》：“故繩墨誠陳矣，則不可欺以曲直；衡誠縣矣，則不可欺以輕重；規矩誠設矣， 則不可欺以方圓；君子審于禮，則不可欺以詐偽?！?/span>

我們知道，有了繩墨就不可欺以曲直，有了衡(秤)就不可欺以輕重，有了規矩就不可欺以方圓，這些都是數學(xué)道理。荀子以此來(lái)說(shuō)明“禮”的重要性。

同樣地，《荀子·禮論》接著(zhù)說(shuō)：“君子審于禮，則不可欺以詐偽。故繩者，直之至；衡者， 平之至；規矩者，方圓之至；禮者，人道之極也?！避髯訌睦K、衡、規矩這些數學(xué)知識，引申到他的核心人文思想“禮”。只有對數學(xué)的“之至”理解透徹了，才能透徹理解其人文的“之極”。

2.7 管子的人文思想與數學(xué)

管仲治理國家時(shí)應用了數學(xué)，他的人文思想也是用數學(xué)語(yǔ)言來(lái)表征的?！豆茏印しǚā氛f(shuō)：“規矩者，方圓之正也，雖有巧目利手，不如拙規矩之正方圓也……，故雖有明智高行，倍法而治，是廢規矩而正方圓也?！边@里，管仲用數學(xué)語(yǔ)言來(lái)闡釋背法而治的后果。

《管子·形勢解》：“奚仲之為車(chē)器也，方圜曲直皆中規矩鉤繩，故機旋相得，用之牢利，成器堅固。明主，猶奚仲也，言辭動(dòng)作，皆中術(shù)數，故眾理相當，上下相親。巧者，奚仲之所以為器也，主之所以為治也?！?/span>

“以規矩為方圜則成，以尺寸量長(cháng)短則得，以法數治民則安?！?/span>

《管子·七臣七主》：“法律政令者，吏民規矩繩墨也。夫矩不正，不可以求方；繩不信，不可以求直?！?/span>

2.8 韓非子的人文思想與數學(xué)

韓非子也是法家的代表人物，他十分推崇“法術(shù)”，他也借用規矩、尺寸等數學(xué)語(yǔ)言來(lái)闡述“法”，他的數學(xué)思想和人文思想是交融在一起的。韓子引繩墨，切事情，明是非。------《史記·老子韓非列傳》。

《韓非子·用人》：“釋法術(shù)而任心治，堯不能正一國；去規矩而妄意度，奚仲不能成一輪；廢尺寸而差短長(cháng)，王爾不能半中。使中主守法術(shù)，拙匠守規矩尺寸，則萬(wàn)不失矣?！?/span>

《韓非子·飾邪》：“夫懸衡而知平，設規而知圓，萬(wàn)全之道也?！屢幎吻?，釋法而任智，惑亂之道也?！?/span>

2.9 法律與數學(xué)

唐代吳兢的《貞觀(guān)政要·公平》提到：“法，國之權衡也，時(shí)之準繩也”；《淮南子·主術(shù)訓》說(shuō)：“法者，天下之度量，而人主之準繩也”。目前我國的法徽、人民法院院徽含有權衡；時(shí)至今日，我們仍說(shuō)“以法律為準繩”，可見(jiàn)古代數學(xué)的影響。度量、權衡、準繩都是數學(xué)，被用于法律。反映了中國文化對數學(xué)嚴謹、規范、精確的推崇。

2.10 先賢們的數學(xué)觀(guān)

先賢們?yōu)槭裁粗匾晹祵W(xué)？先賢們顯然希望自己的學(xué)說(shuō)無(wú)論在哪里用、在什么時(shí)候用、誰(shuí)來(lái)用，都有一致性，不會(huì )因地、因時(shí)、因人而異，能反映客觀(guān)性、普適性。而數學(xué)的一個(gè)重要特點(diǎn)就是客觀(guān)性與普適性，數學(xué)命題具長(cháng)期生命力，其正確性不會(huì )因時(shí)因地因人而改變。這也是為什么先賢們建立的學(xué)說(shuō)直到今天仍有強大的生命力。這反映出中國文化對數學(xué)思想、方法、能力的看重。

2.11 籌算與語(yǔ)言

籌算對中國語(yǔ)言有很重要的影響。我認為，像運籌帷幄、技高一籌、略勝一籌、一籌莫展等成語(yǔ)，都源自于籌算。運字特征：運的對象從一處到了另一處，發(fā)生了位移?；I算的過(guò)程是把算籌從袋中取出，移到桌上進(jìn)行運算，這正是運籌?！斑\籌帷幄”，字面意思是說(shuō)在軍帳里進(jìn)行籌算，進(jìn)而引申為在戰斗中進(jìn)行謀劃、策劃。在我看來(lái)，“技高一籌”、“高出一籌”和“略勝一籌”的本意，并不是比較兩人的籌碼多少，而是比較兩人的籌算能力，你會(huì )把籌擺弄在正確的位置上， 也就是你的籌算能力更強，你就“技高一籌”、“高出一籌”或“略勝一籌”?！罢埂弊痔卣鳎赫沟膶ο笳骨皼](méi)看見(jiàn)，展后看見(jiàn)了。算籌本是放在袋中的，沒(méi)看見(jiàn)，做籌算時(shí)需把算籌取出，擺在桌上演算，就能看見(jiàn)了，所以做籌算就是一個(gè)展籌的過(guò)程?！耙换I莫展”是說(shuō)，做籌算時(shí)連算袋里一根籌都拿不出來(lái)擺在正確的位置，說(shuō)明完全不會(huì )做，比喻一點(diǎn)辦法都想不出，一點(diǎn)計策也施展不了。

此外還有很多與算籌有關(guān)的詞語(yǔ)，例如統籌、籌款、籌辦、籌備、籌措、籌劃、籌集、籌建、籌借、籌碼、籌謀、籌拍、籌商、籌資、籌組等等。簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單、隨隨便便的辦理不能稱(chēng)為籌辦，籌辦得要是有謀劃、有思考、動(dòng)了腦筋的辦理。

數學(xué)對中國語(yǔ)言的影響還有很多例子。比如建筑工匠、尤其是泥木工需要使用數學(xué)工具，離開(kāi)了“準繩”便無(wú)法工作， 所以“準繩”后來(lái)被引申為必須遵守的法規。

如今的許多詞語(yǔ)都與數學(xué)中的準繩有關(guān)，例如：準則、準確、準時(shí)、準保、標準、水準、準點(diǎn)、準信、準數、對準、瞄準、保準、放之四海而皆準，繩正、繩之以法、繩墨之言、繩愆糾謬。

再比如常規、規則、規范、規定、蕭規曹隨、循規蹈矩，上策、獻策、策劃、策反、策應、策動(dòng)、束手無(wú)策、出謀劃策，權衡、權度、衡量、衡定(評定)等詞語(yǔ)，也都源自于數學(xué)中的規、矩、策、權、衡等。

2.12《周易》中的數學(xué)

《周易》記載：“上古結繩而治，后世圣人易之以書(shū)契?！睆慕Y繩計數到符號計數，《周易》可謂是二進(jìn)制的濫觴，書(shū)中顯現了對稱(chēng)和對偶的思想。比如陰和陽(yáng)。上述提到的“探賾索隱，鉤深致遠”也是出自《周易》?！吨芤住穼χ袊軐W(xué)的發(fā)展起到了重要的作用，是一部具有科學(xué)思想的深刻巨著(zhù)。

2.13 老子的人文思想與數學(xué)

原文載于《數學(xué)學(xué)報，中文版》2022年第四期，由編輯部授權轉載。

來(lái)源：數學(xué)大院